国际经济学中一个完全非完美信息两阶段博弈的例子

——关税和国际市场的不完全竞争

管雪

　　Robert Gibbons 的《A Primer in GameTheory》中完全信息动态博弈一章给出了一个关于关税和国际市场的博弈分析，以下是学习笔记：

　　考虑两个完全相同的国家，分别用i=1,2表示（或国家i和国家j）。每个国家有政府负责确定关税税率，一个企业制造产品供货本国的消费者及出口，一群消费者在国内市场购买本国企业和外国企业生产的产品。

　　如果（国家i）市场上总产量为Q_i，则市场出清价格为P_i(Q_i)=a-Q_i，国家i中的企业（企业i）为国内市场生产h_i，并出口e_i，则Q=h_i e_i(对国家i的市场i来说)。企业的边际成本为常数c,并且没有固定成本，从而，企业i生产的总成本为C_i(h_i e_i)=c(h_i e_i),产品出口有关税成本，企业i向国家j出口e_i必须支付给j国政府的关税为t_je_i,t_j为政府j制定的税率。

　　博弈的时间顺序如下：

第一，政府同时选择关税税率t₁和t₂；

第二，企业观察到税率，并同时选择其国内和出口产量（h₁,e₁）和(h₂,e₂);

第三，企业i的收益为其利润额，政府i的收益则为本国总的福利，其中国家i的总福　　　利是国家i的消费者剩余，企业i赚取的利润，以及政府i从企业j收取的关税　　　收入之和：

∏_i(t_i,t_j,h_i,e_i,h_j,ej)

=[a-(h_i e_j)]h_i [a-(e_i h_j)]e_i-c(h_i e_i)-t_je_i

W_i(t_i,t_j,h_i,e_i,h_j,e_j)

=(1/2)Q_i² ∏_i(t_i,t_j,h_i,e_i,h_j,e_j) t_ie_j（注：消费者剩余可表示为(1/2)Q_i²）

　　假设政府已选定的税率为t₁和t₂，如果（h₁^*,e₁^*,h₂^*,e₂^*）为企业１和企业２（两市场）的纳什均衡，对每一个企业i,　（h_i^*,e_i^*）必须满足：

max∏_i(t_i,t_j,h_i,e_i,h_j^*,e_j^*)

h_i,e_i

　　由于∏_i(t_i,t_j,h_i,e_i,h_j^*,e_j^*)可表示为企业i在市场i的利润与在市场j的利润之和，企业i在市场的最优化问题就可拆为一对问题，在每个市场分别求解：

h_i^*须满足：　maxh_i[a-(h_i e_j^*)-c],

　h_i≧0

且e_i^*必须满足：maxe_i[a-(e_i h_j^*)-c]-t_je_i

e_i≧0

　　假设e_j^*≦a-c,可得：h_j*=(a-e_j^*-c)/2 (2.2.1)

同时假设h_j^*≦a-c-t_j,可得：e_i^*=(a-h_j^*-c-t_j)/2 　 (2.2.2)

　　同理可表示出h_i^*,e_j^*的两个方程，对四个方程求解，得：

h_i^*=(a-c t_i)/3 且e_i^*=(a-c-2t_i)/3, (2.2.3)

同时得h_j^*,e_j^*

　　回忆古诺博弈中，两企业均衡产出都是（a-c）/3,这是基于对称的边际成本得出的，而(2.2.3)中，政府对关税的选择使企业的边际成本不再对称，如在市场i,企业i的边际成本是c,但企业j的边际成本则是c t_i。企业j的成本较高，它意愿产出也相对较低，如果降低产出，市场（i）出清价格相应提高，企业i又倾向提高产出，企业j的产量就又会降低，结果均衡条件，本国国内产出随本国关税率的提高而上升，进口量（外国企业产出中出口到本国的）随本国关税率的提高以更快速度下降。

　　在解出第二阶段两企业博弈的结果之后，把第一阶段政府的互动决策表示为以下的同时行动博弈：

第一，政府同时选择关税税率t₁,t₂;

第二，政府i的收益为W_i(t_i,t_j,h₁^*,e₁^*,h₂^*,e₂^*),i=1,2,这里h_i^*,e_i^*是（2.2.3）表示的t_i,t_j的函数。

　　现在求解这一政府间博弈的纳什均衡。

为简化，令W_i^*(ti,tj)表示W_i(t_i,t_j,h₁^*,e₁^*,h₂^*,e₂^*),如果（t₁^*,t₂^*）是这一政府间博弈的纳什均衡，则对每一个i,t_i^*须满足：maxW_i^*(t_i,t_j^*)

t_i≧0

从而

W_i^*(t_i,t_j)=[2(a-c)-t_i]²/18 (a-c t_i)²/9 (a-c-2t_j^*)²/9 t₂(a-c-2t_i)/3

于是：t_i^*=(a-c)/3

这一结果对每一个i都成立，并不依赖于t_j^*。

　　在本模型中，选择(a-c)/3的关税税率对每一个政府都是占优战略（在其

他模型中，比如边际成本递增时，政府的均衡战略就就不是占优战略）。

把t_i^*=t_j^*=(a-c)/3代入2.2.3，得：

h_i^*=4(a-c)/9,且e_i^*=(a-c)/9

至此，求得这一关税博弈的子博弈精炼解为：

（t₁^*=t₂^*=(a-c)/3,h₁^*=h₂^*=4(a-c)/9,e₁^*=e₂^*=(a-c)/9）

　　在子博弈精炼解中，每一市场上的产量为５(a-c)/9。如果政府选择关税税率为０，则总产量将为２(a-c)/3,等于古诺模型的结果，从而，市场i的消费者剩余在政府选择其占优战略时比选择０关税时要低，事实上，０关税是社会最优选择，因为t₁=t₂=0是maxW₁^*(t₁,t₂) W₂^*(t₂,t₁)的解。

　　　　t₁,t₂≧0

　　于是，政府就有动因签订一个相互承诺０关税的协定（自由贸易协定）。这样，由于企业i和j在第二阶段按2.2.3给出的纳什均衡结果行动，政府在第一阶段的互动决策就成为囚徒困境式的问题：惟一的纳什均衡是其占优战略，但对整个社会却是低效率的。