重复博弈

囚徒困境也许是博弈论中最著名的案例。据说，到1975年为止已有2000多篇论文对其进行了深入的研究。两名当事人从各自的理性出发，结果却导致了非最大化的纳什均衡。这一事实对经济学的意义在于：它使现代经济理论的逻辑起点“理性人”和“利益最大化”假设面临空前的挑战，因为在“纳什均衡”中它们是绝对不相容的。在波普尔的哲学语境中，“纳什均衡”将成为现代经济理论的“证伪之剑”。那么怎么样才能摆脱“囚徒困境”呢？

博弈双方都付出代价，失去自己不愿失去的东西，但只有这样才能共存并且摆脱囚徒困境，这有如壮士断臂，不得不为，也乐得为之。

如果说“兄弟阋于墙，共御外侮”是理想化的摆脱囚徒困境的策略，那么出卖“兄弟”以得自己的平安，则是处于囚徒困境下本能的选择。趋利避害是人的本能，在经济行为和社会行为中这一本能都鲜明地体现着。

“不识庐山真面目，只缘身在此山中”。严格囚徒困境的前提条件是博弈各方不可以进行合作，也就是不能够制订有约束力的协议。但实际上，合作是文明的基础，比如兴修水利、组织国防、创建企业等都是合作而产生的，无怪乎哲学家卢梭写了本书《社会契约论》，认为契约是整个人类社会存在的前提条件之一。

如果囚徒困境只是一次性的博弈，签订协议是毫无意义的，其纳什均衡点并不会改变。可以签订协议的一个最基本的条件，就是博弈需要重复若干次，当然至少大于一次。

囚徒困境一旦从一次性博弈转变为重复博弈（repeatedgame），情况会发生非常大的变化，博弈的结局也就是纳什均衡点可能会完全不同。

实际上，在重复型的囚徒困境中，并不是签订合作协议很困难，困难的是这个协议对博弈各方是否具有很强的约束力。一个合作契约建立的困难在于任何协议签订之后，博弈参与者都有作弊的动机。 因为至少在作弊的这一局博弈中，作弊者可以得到更大的收益。

在博弈论中，数学家已经证明：在无限次重复博弈的情况下，合作可能是稳固的。如果博弈无限次，双方就会逐渐从互相背叛走向互相合作。因为任何一次背叛都会招致对方在下一次博弈时的报复；而双方都采取合作态度会带来合作收益。但是在现实社会生活中又不完全这样，人总是要死的，因而人与人之间的博弈不是无限次的。当一个人知道他终将退出博弈时，他就可能不再害怕此后别人对他的报复，从而可以在博弈结束前做损害他人的事情，这就回复到有限次重复博弈的境况，这就是著名的终结者悖论。

对于有限次囚徒困境博弈，美国密西根大学的罗伯特•爱克斯罗德教授（RobertAxelrod）曾经做过一个著名的博弈论试验。这个试验的思路非常简单：任何想参加这个计算机竞赛的人都扮演“囚徒困境”模型中一个囚犯。他们把自己的策略编入计算机程序，然后这些程序会被成双成对地融入不同的组合。分完组以后，参与者就开始玩“囚徒困境”的游戏，进行对抗。他们每个人都要在合作与背叛之间做出选择。试验参与者连续玩上200次，于是这就更逼真地反映了日常人际关系。

试验的结果表明，囚徒困境在同样重复数十次或一百次的情况下，只要两个参与者仍然还是理性人（这可以在该试验的参加者所编程序中反映出），博弈的结果仍然是囚徒A和B都把对方招供出来。

为了解释这个问题，我们不妨讨论一个博弈两次的模型。

我们首先考虑第二次博弈的情况，由于这是最后一次博弈，自然没有后面的博弈对这次博弈的影响，因此也就不必为将来打算，个人都只追求这次博弈的最大利益，于是第二次博弈的结果应该和一次囚徒困境博弈完全一样，自然是囚徒A和B都坦白，达到纳什均衡。

现在再来考虑第一次博弈的情况，博弈参与者A已经很清楚最后一次博弈时，B一定会招供，那么即使囚徒A不坦白，在下一次博弈时，B也一定会招供，这次博弈A不坦白对下一次博弈没有任何好的影响，那么作为理性人的A一定仍然选择坦白。对于B，也是一样的道理。由此可见，第一次博弈自然也和一次性囚徒困境博弈完全一样。

其实不论是两次博弈，还是3次，4次，甚至是100次，只要是有限次数的重复囚徒困境博弈，其思路方法都是一样的。这种方法就是我们在前文中提到的倒推法，这在博弈论中，对于重复博弈与动态博弈是一种重要的分析方法，当然这对我们在日常生活中分析问题也不无裨益。

比如，汽车企业之间的价格战往往不是一次性降价，而是一轮一轮地降价，这种类似的问题都可以用有限次囚徒困境模型来分析，事实情况和我们前面的分析完全相同，汽车企业之间每一次的价格博弈的纳什均衡只有一个，那就是全体降价。同样的道理，股市下跌的时候，也不是一跌到底，而是一波一波地下跌，这样一批又一批的投资者最终都将陷入“卖与不卖”的囚徒困境，直到所有的投资者全都被套牢。熊市就像从高位落下并反弹的皮球，越弹越低，弹到不弹了就见底了。股市里有一句话，“是底不反弹，反弹不是底”，说的就是这个道理。形象地说：“在熊市中，价格顺着希望的坡道下滑；当最后一个乐观者也变成了悲观者时，市场也就走到熊市的尽头了。同样，在牛市中，价格顺着忧虑的墙壁攀爬；当最后一个悲观者也变成了乐观者时，市场也就走到牛市的尽头了。”

最后还要补充一个问题，就是多人重复囚徒困境的博弈。实际上，生活中的两人博弈毕竟是特例，绝大部分的情况还是多人博弈，比如上面提到的汽车价格战。在多人博弈中，只有其它所有参与者在第k－1次博弈中都是合作的，某个参与者才会在k次博弈中采取合作策略。

然而，这一策略会带来一个协调问题，任何人的一个小小失误都会导致采取背叛策略的其他参与者的数量如同滚雪球一样地愈演愈烈，最终导致所有人的背叛。更糟糕的是，一旦出现这种情况，没有任何人会主动开始合作。因此，我们可以这么说，多人重复囚徒困境（无论有限或无限）中稳定的合作几乎是不可能的。

比如1992年英镑事件前后，可以明显感觉到有关游戏各方的思路与分析、行为模式。游戏中的德国、英国、意大利等的共同利益是建立统一的欧洲共同体；而它们在考虑统一货币的利益时，均在强调自己的利益；德国在其中的地位很特殊，它具有双重身份，既是欧洲汇率机制的基础，也是德国货币稳定的保证。这就形成了“囚徒困境”的博弈模型。

索罗斯（击垮英格兰银行的人）的量子基金发起攻击的主要原因在于：德国联邦银行总裁“暗示”不会放弃德国的利益。而英国、意大利等国家在本国利益受到损害时，也必然倾向于自保。而在这种分歧加剧的背景下，无疑会加重有关各方拒绝承认错误的立场，这又进一步加重了分歧，索罗斯正是利用这套机制获利的。

如果没有外部强制力，有限次重复囚徒困境博弈中的参与者怎样才可以维持合作，以使自己的实际所得利益最大化呢？这是一个非常实际的问题。比如在国际事务上，国家与国家之间经常就某些问题达成一定的协议，这种协议由于不存在一个世界性的政府，约束力往往很小。

对于这个问题，有这样一种答案。如果一方采取不合作的策略，另一方随即也采取不合作策略并且永远采取不合作策略，在博弈论里面称之为触发策略（Trigger strategy），或称冷酷策略。 如果对方知道你的策略是触发策略，那么对方将不敢采取不合作策略，因为一旦他采取了不合作策略，双方便永远进入不合作的困境。因此，只要有人采取触发策略，那么双方均愿意采取合作策略。 但是这个策略面临着这样一个问题：如果双方存在误解，或者由于一方发生选择性的错误，这个错误是无意的，那么结果将是双方均采取不合作的策略。也就是说，这种策略不给对方一个改正错误或解释错误的机会。

美国密西根大学罗伯特•爱克斯罗德教授那个著名试验，给出了有限次重复囚徒困境博弈更好的解――针锋相对（tit-for-tat）策略。所谓针锋相对策略，说穿了，就是胡萝卜加大棒的原则。 针锋相对策略的特点是：第一次对局采用合作的策略，以后每一步都紧紧跟随对方上一步的策略，你上一次合作，我这一次就合作，你上一次不合作，我这一次就不合作。

爱克斯罗德发现最优策略有三个特点：第一，从不首先背叛，即“善良的”；第二，对于对方的背叛行为一定要报复，不能总是合作，即“强硬的”；第三，不能人家一次背叛，你就没完没了地报复，以后人家只要改为合作，你也要合作，即“宽容性”。此外，好的策略还必须具有的一个特点是“清晰性”，能让对方在三、五步对局内辨识出来，太复杂的对策不见得好。针锋相对策略就有很好的清晰性，让对方很快发现规律，从而不得不采取合作的态度。

爱克斯罗德进化试验揭示了一个哲理：一个策略的成功应该以对方的成功为基础。针锋相对在两个人对策时，得分不可能超过对方，最多打个平手，但它的总分最高。它赖以生存的基础是很牢固的。因为它让对方得到了高分。