4、零和博弈

从塔克发明“囚犯困境”开始，博弈论业已受到广泛关注。但是绝大多数早期的工作主要聚焦在一种特殊的博弈上：零和博弈（Zero-sumGmes）。

在早期的工作中，诺伊曼做出了一个惊人的发现。他发现，如果玩纸牌的人最大化其报酬，他们采取欺骗来达到目的。并且，更一般地，在很多博弈中支付是不可预知的。当然，这在本质上并无新意——棒球投掷手早在诺伊曼写出混合战略前就知道投掷角度变换的球了。但是诺伊曼发现的更多。他发现了一个明确而又独特的问题：在这类没有市场、价格、产权和其他制度的博弈中，我如何最大化自己的收益？这个问题是对新古典经济学绝对理性概念的一个主要扩展。不过诺伊曼为他的发现付出了代价。代价就是极端简化的假定：诺伊曼的发现仅能用于零和博弈。

例如，考虑一个叫“赌便士”（matchingpennies）的小孩游戏。在这个博弈中，两个参与人同意一个是“Even(偶数)”一个是“Odd（奇数）”。每个人同时出示一个便士，每个参与人可以展示便士的正面或反面。如果两人展示出同一面，Even将赢得Odd的便士，反之如果他们展示出不同的币面，则Odd将赢得Even的硬币。下面是该博弈的赢利表（表4-1）。

表4-1

如果我们加总每单元格的赢利，我们会得到1-1=0。这就是“零和博弈”。

定义：零和博弈——如果我们加总博弈的赢得和亏损，把亏损记为负数，我们发现每一个选定战略的组合之支付加总之和为0，这个博弈就是“零和博弈”。

用非正式的语言讲，一个零和博弈即一方所得为另一方所失的博弈。注意定义中要求每个战略组合的支付总和为0。如果有一个战略组合的支付加总不为0，这个博弈就不是零和博弈。

■另一个例子

这里有另外一个零和博弈的例子。它是一个非常简单的价格竞争模型。象奥古斯汀•古诺（AugustinCournot，1840）那样，我们考虑两个卖矿泉水的公司。每个公司在每一时期有$5000的固定成本，不管他们是否销售。我们随机地称这两个公司为毕雷矿泉水和阿波里罗矿泉饮料。
这两个公司在同一个市场竞争，并且每个企业必须选择高价格（每瓶$2）或者低价格（每瓶$1）。以下是博弈规则：

（1）在$2的价格上，可以出售5000瓶获得总收益$10000。

（2）在$1的价格上，可以出售10000瓶获得总收益$10000。

（3）如果两个公司选择同样的价格，它们平分销售额。

（4）如果一个公司选择更高的价格，那么价格较低的公司得到全部的销售量而价格高的公司一瓶也售不出去。

（5）赢利即利润——收益减去$5000的固定成本。

以下是两个公司的赢利表（表4-2）。

表4-2

（自己检查一下，这是一个零和博弈）。对于二人零和博弈，存在一个清楚的解的概念。博弈的解就是最大化准则——即，每个参与人选择最大化其最小赢利的战略。在这个博弈中，阿波里罗在价格$1下的最小赢利为0，在价格$2下最小赢利为-5000，因此$1最大化其最小赢利。同样的推理适用于毕雷矿泉水，因此它们都将选择$1的价格。以下是最大化解背后的推理：阿波里罗知道任何情况下它所会失去的就是毕雷所得到的；所以无论她采取何种战略，毕雷将选择使行中支付最小化的战略。反过来，毕雷刚好进行相反的推理。

解：最大化准则——对于二人零和博弈，选择最大化其最小赢利的战略对于每一个参与者来说都是理性的，双方最大化其最小赢利的战略对子和赢利对子就是“博弈的解”。

■混合战略（MixedStrategy）

现在让我们回顾一下“赌便士”博弈。这个博弈似乎没有确定的解。最小的赢利在两个战略下是相同的：-1。但是这不是全部的故事。这个博弈可以有超过两个的战略。作为正面、反面两个明显战略的补充，参与人可以一定的概率随机选择提供正面或反面，使其战略“随机化”。这样的随机战略叫做“混合战略”。两个显战略，正面或背面，叫做“纯战略（purestrategies）”

古老的堆物博弈有一种很有意思的游戏不知道你玩儿过没有，就是有物体若干堆，可以是火柴棍或是围棋子等等均可。两个人轮流从堆中取物体若干，规定最后取光物体者取胜。这是我国民间很古老的一个游戏，别看这游戏极其简单，却蕴含着深刻的数学原理。下面我们来分析一下要如何才能够取胜。（一）巴什博奕（BashGame）：只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。显然，如果n=m 1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：如果n=（m 1）r s，（r为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k（≤m)个，那么先取者再拿走m 1-k个，结果剩下（m 1）（r-1）个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m 1）的倍数，就能最后获胜。这个游戏还可以有一种变相的玩法：两个人轮流报数，每次至少报一个，最多报十个，谁能报到100者胜。（二）威佐夫博奕（WythoffGame）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。这种情况下是颇为复杂的。我们用（ak，bk）（ak≤ bk,k=0，1，2，...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而bk= ak k，奇异局势有如下三条性质：1。任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。由于ak是未在前面出现过的最小自然数，所以有ak> ak-1 ，而 bk= ak k > ak-1 k-1 =bk-1 > ak-1。所以性质1。成立。2。任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。事实上，若只改变奇异局势（ak，bk）的某一个分量，那么另一个分量不可能在其他奇异局势中，所以必然是非奇异局势。如果使（ak，bk）的两个分量同时减少，则由于其差不变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势。3。采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。假设面对的局势是（a,b），若b = a，则同时从两堆中取走 a 个物体，就变为了奇异局势（0，0）；如果a = ak ，b >bk，那么，取走b - bk个物体，即变为奇异局势；如果 a = ak ， b < bk,则同时从两堆中拿走 ak - ab - ak个物体,变为奇异局势（ ab - ak , ab - ak b - ak）；如果a> ak ，b= ak k,则从第一堆中拿走多余的数量a - ak 即可；如果a< ak ，b= ak k,分两种情况，第一种，a=aj （j <k）,从第二堆里面拿走 b - bj 即可；第二种，a=bj （j < k）,从第二堆里面拿走 b -aj即可。从如上性质可知，两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜；反之，则后拿者取胜。那么任给一个局势（a，b），怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式：ak=[k（1 √5）/2]，bk= ak k （k=0，1，2，...,n方括号表示取整函数）奇妙的是其中出现了黄金分割数（1 √5）/2 =1。618...,因此,由ak，bk组成的矩形近似为黄金矩形，由于2/（1 √5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a（√5-1）/2]，若a=[j（1 √5）/2]，那么a= aj，bj = aj j，若不等于，那么a = aj 1，bj 1 = aj 1 j 1，若都不是，那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异局势。（三）尼姆博奕（NimmGame）：有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。这种情况最有意思，它与二进制有密切关系，我们用（a，b，c）表示某种局势，首先（0，0，0）显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是（0，n，n），只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致（0，0，0）。仔细分析一下，（1，2，3）也是奇异局势，无论对手如何拿，接下来都可以变为（0，n，n）的情形。计算机算法里面有一种叫做按位模2加，也叫做异或的运算，我们用符号（ ）表示这种运算，先看（1，2，3）的按位模2加的结果：1=二进制01

2=二进制10

3 =二进制11（ ）

0 =二进制00（注意不进位）

对于奇异局势（0，n，n）也一样，结果也是0。任何奇异局势（a，b，c）都有a（ ）b（ ）c=0。如果我们面对的是一个非奇异局势（a，b，c），要如何变为奇异局势呢？假设 a < b< c,我们只要将 c 变为 a（ ）b,即可,因为有如下的运算结果:a（ ）b（ ）(a（ ）b)=(a（ ）a)（ ）(b（ ）b)=0（ ）0=0。要将c 变为a（ ）b，只要从 c中减去c-（a（ ）b）即可。例1。（14，21，39），14（ ）21=27，39-27=12，所以从39中拿走12个物体即可达到奇异局势（14，21，27）。例2。（55，81，121），55（ ）81=102，121-102=19，所以从121中拿走19个物品就形成了奇异局势（55，81，102）。例3。（29，45，58），29（ ）45=48，58-48=10，从58中拿走10个，变为（29，45，48）。例4。我们来实际进行一盘比赛看看：甲:(7,8,9)->(1,8,9)奇异局势乙:(1,8,9)->(1,8,4)甲:(1,8,4)->(1,5,4)奇异局势乙:(1,5,4)->(1,4,4)甲:(1,4,4)->(0,4,4)奇异局势乙:(0,4,4)->(0,4,2)甲:(0.4,2)->(0,2,2)奇异局势乙:(0,2,2)->(0,2,1)甲:(0,2,1)->(0,1,1)奇异局势乙:(0,1,1)->(0,1,0)甲:(0,1,0)->(0,0,0)奇异局势甲胜。

不会用博弈论害死了关羽

有人认为当时蜀国与魏、吴结怨很深，而荆州位于魏和吴夹击之中，必然失守，诸葛亮应该认识到这一点，但还是让关羽留守荆州，因此关羽之死诸葛亮应负一部分责任。笔者持不同的看法，从博弈论的角度论证关羽之死责任不在诸葛亮，而在于关羽自己不会用博弈论。

正因为荆州位于魏和吴的夹击之中，时时处于不稳定之中，才有刘备不远千里去攻取西川，争取一个稳固的根据地。因此说守卫荆州确实是一件难事，但并不是说肯定失守。我们可以建立一个博弈模型来进行考虑。

当时的实力分析：

（1）魏、吴单独和关羽交锋。魏、吴单独和关羽比处于下风或至少势均力敌（从关羽和曹操的交战中可以看出这一点），任何一方和关羽力拼必然损兵折将，另一方则可趁虚而入，不仅能够取得荆州大部分地区，还避免了和关羽正面交锋的损失。设此时单独作战收益为X，因为单独作战，另一方会偷袭，从而自己得不到荆州，有X<0；趁另一方作战，本方不战而偷袭则会有收益Y1，Y1>0。

（2）双方都对关羽作战，则关羽首尾不能兼顾，关羽必败。但此时魏吴也会有一定的损失，取胜后为拼抢共同胜利的果实——荆州，双方也会再起战事，因此此时的收益必定不如本方不战而偷袭所得的收益，设此时双方的收益各为Y2（0<Y2<Y1）。

（3）双方都不对关羽力拼，则偷袭不会成功，魏吴的收益均为零。

我们可以把此博弈的支付矩阵列表如下

力拼偷袭

力拼（Y2，Y2）（X，Y1）

偷袭（Y1，X）（0，0）

注：X<0<Y2<Y1。<P>

我们可以看出，理论上，双方都力拼对魏和吴来说是最好的结果（Y2，Y2），但双方都会认识到：假如对方力拼，自己的偷袭所得将是Y1！Y1>Y2，更坏的结果莫过于自己力拼，对方偷袭，自己将遭受损失（X<0）。因此最明智的结果是自己不力拼而偷袭。因此说这个博弈的纳什均衡是（0，0），即双方都会等待对方力拼，结果偷袭都不会成功。这和囚徒困境是一个道理。

如果双方都是经济学上的理性人，那么结果会是（0，0），关羽不会死。但不幸的是曹操充当了傻子，与关羽力拼，搞得“水淹七军”不说，荆州九郡还全部落入孙权之手。诸葛亮则不愧为高人，看来他那时对博弈论已经很清楚，而且运用自如（中华民族早已把博弈论运用于战争之中，比那个纳什早了上千年），因此才嘱咐关羽切不可对一方穷追猛打，否则会两面受敌，只守不攻乃为上上策。

只要听从诸葛亮的建议，短期内荆州不会失守，等巴蜀稳定下来，魏、吴更会有所忌惮，不敢强攻荆州，那时荆州就会相对稳固起来。因此说荆州是可以守卫成功的。

此时不得不提的一个人物是刘备，刘备此人对别人疑心很大。守卫荆州最合适的人选莫过于赵云，但无奈赵云非刘备的嫡系，刘备最信任的还是自己的结拜兄弟关羽和张飞，适才派关平来荆州，暗示诸葛亮要关羽留守荆州。诸葛亮很熟悉关羽的个性——自傲、容易意气用事，派他守荆州不会听从自己的建议，可能会出问题，无奈这是刘备的意思，诸葛亮也没有办法，在临走前还千叮咛万嘱咐关羽不要冲动，但最终关羽还是没听诸葛亮的话，死攻樊城，令陆逊偷袭成功，导致自己败走麦城。

因此说，关羽的死并不是诸葛亮的错，而是关羽自己不会用博弈论的结果。假如他明白其中厉害，不主动进攻，或见好就收（水淹七军后马上收手），可能不会令陆逊有机可乘。

刘备也应当负一部分责任，他信不过诸葛亮的人选——赵云，而把并不适合的人选关羽往刀口送。这种用人上的错误，也直接导致了以后张飞和刘备自己的死。

博弈论在战争中的应用很多，远的不提，拿二战时的苏联来说，他一方面要对德国作战，另一方面小日本对他也不断骚扰。但斯大林深得博弈论之精髓，在与日本的交锋中即使胜利了也草草签署一个战和协议了事，并没有对小日本穷追猛打，才得以专心对德国作战，也才有了最终的胜利。当然从我们中国的角度来说，斯大林做得很不人道，但从苏联的角度来考虑，斯大林却是采取了最好的战略。话说回来，假设当时苏联对日本猛打，小日本也不会侵占中国那么多土地，中国不会遭受那么大的损失，日本更不会冒傻气去偷袭珍珠港，美国不一定那么快参战，历史可能因此而改写。